Question

【题目】如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（　　）

A.BC﹣AB＝2B.AC＝2ABC.AF＝CDD.CD+DF＝5

Answer 1

【答案】C

【解析】

如图，设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，根据折叠的性质得到OG＝DG，根据全等三角形的性质得到OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2即可判断A；设AB＝a，BC＝b，AC＝c，⊙O的半径为r，推出⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r＝（a+b﹣c），根据勾股定理得到BC+AB＝2+4，AC＝＝2（1+），即可判断B；再设DF＝x，在Rt△ONF中，FN＝3+﹣1﹣x，OF＝x，ON＝1+﹣1，由勾股定理可得x＝4﹣，即可判断D和C．

解：如图，设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，

∵将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，

∴OG＝DG，

∵OG⊥DG，

∴∠MGO+∠DGC＝90°，

∵∠MOG+∠MGO＝90°，

∴∠MOG＝∠DGC，

在△OMG和△GCD中，

，

∴△OMG≌△GCD，（AAS），

∴OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2．

∵AB＝CD，

∴BC﹣AB＝2．故A正确；

设AB＝a，BC＝b，AC＝c，⊙O的半径为r，

⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r＝（a+b﹣c），

∴c＝a+b﹣2．

在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2＝（a+b﹣2）2，

整理得2ab﹣4a﹣4b+4＝0，

又∵BC﹣AB＝2即b＝2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4＝0，

解得a1＝1﹣（舍去），a2＝1+，

∴BC+AB＝2+4，

∴AB＝1+，BC＝3+，

∴AC＝＝2（1+），

∴AC＝2AB；故B正确；

再设DF＝x，在Rt△ONF中，FN＝3+﹣1﹣x=2+﹣x，OF＝x，ON＝1+﹣1=，

由勾股定理可得（2+﹣x）2+（）2＝x2，

解得x＝4﹣，

∴CD﹣DF＝+1﹣（4﹣）＝2﹣3，CD+DF＝+1+4﹣＝5，故D正确；

∴AF＝AD﹣DF＝2﹣1，

∴AF≠CD，故C错误；

故选：C．