Question

（2008•镇江）如图，AB为⊙O直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．
（1）∠OCD的平分线CE交⊙O于E，连接OE．求证：E为的中点；
（2）如果⊙O的半径为1，CD=．
①求O到弦AC的距离；
②填空：此时圆周上存在______个点到直线AC的距离为．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求证：E为的中点，即要证明CD⊥AB，根据垂径定理就可以；
（2）根据垂径定理，CH=CD=，在直角△OCH中，根据勾股定理就可以求出求O到弦AC的距离OH的长度．
解答：（1）证明：∵OC=OE
∴∠E=∠OCE（1分）
又∠OCE=∠DCE
∴∠E=∠DCE
∴OE∥CD（2分）
又OE⊥AB
∴∠AOE=∠BOE=90°
∴E为的中点；（3分）

（2）解：①∵CD⊥AB，AB为⊙O的直径，CD=
∴CH=CD=（4分）
又OC=1
∴sin∠COB=
∴∠COB=60°（5分）
∴∠BAC=30°
作OP⊥AC于P，则OP=OA=；（6分）
②OP=，则MP=，即M到AC的距离是，在上其它点到AC的距离一定小于；
在上一定有2个点到AC的距离等于．
故圆上有3点到AC的距离是．
故答案是：3．（7分）
点评：本题主要考查了垂径定理，可以把求弦长，弦心距的问题转化为解直角三角形的问题．