Question

【题目】如图1，中，于点，于点，连接．

（1）若，，，求的周长；

（2）如图2，若，，的角平分线交于点，求证：．

Answer 1

【答案】（1）2+2；（2）见解析

【解析】

（1）先根据等腰三角形的性质可得E为AC的中点，由直角三角形斜边上的中线性质得出DE=AC=AE，AC=2DE=2，AE=1，由勾股定理求出AB，得出BC，即可得出结果；
（2）连接AF，由等腰三角形的性质得出∠3=∠4，易得出△ABD是等腰直角三角形，有∠DAB=∠DBA=45°，∠3=22.5°，由SAS证明△ADF≌△BDF，得出AF=BF，∠2=∠3=22.5°，证出△AEF是等腰直角三角形，得出AF=AE，即可得出结论．

（1）解：∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AE=CE，∠AEB=90°，
∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，
∴DE=AC=AE，
∴AC=2DE=2，AE=1，

∴AB=，

∴BC=，

∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2+2；
（2）证明：连接AF，如图2所示，

∵AB=BC，BE⊥AC，
∴∠3=∠4，
∵∠ADC=∠ADB=90°，AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴∠3=22.5°，
∵∠1+∠C=∠3+∠C=90°，
∴∠1=∠3=22.5°，
∵DF平分∠ADB，
∴∠ADF=∠BDF，
在△ADF和△BDF中，
AD=BD，∠ADF=∠BDF，DF=DF，
∴△ADF≌△BDF（SAS），
∴AF=BF，∠2=∠3=22.5°，
∴∠EAF=∠1+∠2=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=AE，
∵DE=AE，
∴BF=DE．