Question

【题目】如图、图、图，在矩形中，是边上的一点，以为边作平行四边形，使点在的对边上，

如图，试说明：平行四边形的面积与矩形的面积相等；

如图，若平行四边形是矩形，与交于点，试说明：、、、四点在同一个圆上；

如图，若，平行四边形是正方形，且是的中点，交于点，连接，判断以为直径的圆与直线的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）以为直径的圆与直线相切，理由见解析.

【解析】

（1）作出AE边上的高，分别得出长方形和平行四边形的面积表达式，可得其结果相同，从而说明平行四边形AEFG的面积与矩形ABCD的面积相等．

（2）先求出∠ADC=∠FEA=90°，再根据圆内接四边形的判定定理：“如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆”解答．

（3）过D作DH⊥AP于H，根据∠2+∠3=90°，∠1+∠2=90°，可得∠3=∠1，可求出△ADG∽△AEB；再根据D是FG的中点可求出其相似比为2，再由△ADG与△AEB相似可得其对应边成比例，可求出△ADG∽△AEB∽△APD；最后根据相似三角形的性质可得AD是∠GAH的平分线，可求出DG=DH，故DG=DF，即可解答．

过点作垂直于点；

，

，

，

所以，

所以，．

因为平行四边形是矩形，四边形也是矩形；

所以，

则，

所以、、、四点在同一个圆上．

相切．

过作于；

∵，，

∴，，

∴，

∵是的中点，

∴，

在与中，；

∵，

∴，

∵，

∴，∴，即是的平分线，

∴，∵，，

∴以为直径的圆与直线相切．