Question

【题目】在△ACB和△DCE中，AB＝AC，DE＝DC，点E在AB上

（1）如图1，若∠ACB＝∠DCE＝60°，求证：∠DAC＝∠EBC；

（2）如图2，设AC与DE交于点P．

①若∠ACB＝∠DCE＝45°，求证：AD∥CB；

②在①的条件下，设AC与DE交于点P，当tan∠ADE＝时，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②

【解析】

（1）由等腰三角形的底角等于60°得出△ACB和△DCE都是等边三角形，再由“SAS”证得△DCA≌△ECB即可得出结论；

（2）①由等腰三角形的底角等于45°得出△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，得出四点共圆，得到∠DAC＝∠ACB＝45°即可得出结论；

②作EH∥AD交AC于点H，则，由△ECB∽△DCA得，求得∠ADE＝∠ACE，，可设AE＝2m，则AC＝4m，即BE＝2m，

可得AD＝m，EH＝2m，即可得出结果．

（1）证明：∵AB＝AC，DE＝DC，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴△ACB和△DCE都是等边三角形，

∴BC＝AC，EC＝DC，∠DCA＝∠ECB，

在△DCA和△ECB中，，

∴△DCA≌△ECB（SAS），

∴∠DAC＝∠EBC；

（2）①证明：∵AB＝AC，DE＝DC，∠ACB＝∠DEC＝45°，

∴△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠CAB＝∠CAE＝∠CDE＝90°，

∴四点共圆，

∴∠DAC＝∠DEC＝45,

∵∠ACB＝∠DEC＝45，

∴∠DAC＝∠ACB＝45°，

∴AD∥CB；

②解：作EH∥AD交AC于点H，如图2所示：

则：，

由①中的△ECB∽△DCA得：，

∵四点共圆，

∴∠ADE＝∠ACE，

∴，

设AE＝2m，

∴，

∴AC＝4m，

∴BE＝AB﹣AE＝AC﹣AE＝4m﹣2m＝2m，

∴AE＝BE，

∴BC＝AC＝4m，

∵EH∥AD，AD∥CB，

∴EH∥CB，

∴EH是△ABC的中位线，

∴EH＝BC＝×4m＝2m，

m，

∴＝＝．