Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E．

（1）求抛物线的函数表达式

（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点．连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）存在．点D的坐标为（，3）或（，）；（3）G（，）．

【解析】

（1）根据，求出A，B的坐标，再代入抛物线解析式中即可求得抛物线解析式；

（2）△BDE和△ACE相似，要分两种情况进行讨论：①△BDE∽△ACE，求得，

；②△DBE∽△ACE，求得，；

（3）由DEGF是平行四边形，可得DE∥FG，DE=FG，设，，，，根据平行四边形周长公式可得：DEGF周长=，由此可求得点G的坐标．

解：（1）在中，令，得，令，得，

，，

将，分别代入抛物线中，得：，解得：，

抛物线的函数表达式为：．

（2）存在．如图1，过点作于，设，则，，；

，，，，

和相似，

或

①当时，，

，即：

，解得：（舍去），（舍去），，

，

②当时，

，

，即：

，解得：（舍，（舍，，

，；

综上所述，点的坐标为，或，；

（3）如图3，四边形是平行四边形

，

设，，，，

则：，，

，即：，

，即：

过点作于，则

，即：

，即：

周长

，

当时，周长最大值，

，．