Question

14．已知A（3，2）是平面直角坐标中的一点，点B是x轴负半轴上一动点，联结AB，并以AB为边在x轴上方作矩形ABCD，且满足BC：AB=1：2，设点C的横坐标是a，如果用含a的代数式表示D点的坐标，那么D点的坐标是（2，$\frac{6-a}{2}$）．

Answer 1

分析 如图，过C作CH⊥x轴于H，过A作AF⊥x轴于F，AG⊥y轴于G，过D作DE⊥AG于E，于是得到∠CHB=∠AFO=∠AED=90°，根据余角的性质得到∠DAE=∠FAB，推出△BCH∽△ABF，根据相似三角形的性质得到$\frac{BH}{AF}=\frac{CH}{BF}=\frac{BC}{AB}$，求得BH=$\frac{1}{2}$AF=1，CH=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{-a+2}{2}$，通过△BCH≌△ADE，得到AE=BH=1，DE=CH=$\frac{-a+2}{2}$，求得EG=3-1=2，于是得到结论．

解答 解：如图，过C作CH⊥x轴于H，过A作AF⊥x轴于F，AG⊥y轴于G，过D作DE⊥AG于E，
∴∠CHB=∠AFO=∠AED=90°，
∴∠GAF=90°，∴∠DAE=∠FAB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠BCH=∠ABF，
∴△BCH∽△ABF，
∴$\frac{BH}{AF}=\frac{CH}{BF}=\frac{BC}{AB}$，
∵A（3，2），
∴AF=2，AG=3，
∵点C的横坐标是a，
∴OH=-a，
∵BC：AB=1：2，
∴BH=$\frac{1}{2}$AF=1，CH=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{-a+2}{2}$，
∵△BCH∽△ABF，
∴∠HBC=∠DAE，
在△BCH与△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BHC=∠DEA}\\{∠CBH=∠DAE}\\{BC=AD}\end{array}\right.$，
∴△BCH≌△ADE，
∴AE=BH=1，DE=CH=$\frac{-a+2}{2}$，
∴EG=3-1=2，
∴D（2，$\frac{6-a}{2}$）．
故答案为：（2，$\frac{6-a}{2}$）．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的画出图形是解题的关键．