Question

如图，已知：⊙O₁与⊙O₂外切于点O，以直线O₁O₂为x轴，点O为坐标原点，建立直角坐标系，直线AB切⊙O₁于点B，切⊙O₂于点A，交y轴于点C（0，2），交x轴于点M．BO的延长线交⊙O₂于点D，且OB：OD=1：3．
（1）求⊙O₂半径的长；
（2）求线段AB的解析式；
（3）在直线AB上是否存在点P，使△MO₂P与△MOB相似？若存在，求出点P的坐标与此时k=

S△MO2P

S   △MOB

的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接BO₁，DO₂，O₂A作O₁N⊥O₂A于N，连接OA，根据切线长定理求出AB的长，设O₁B为r，根据勾股定理得到方程（4r）²-（2r）²=4²，求出方程的解即可；
（2）求出∠CMO=∠NO₁O₂=30°，求出OM，设AB的解析式是y=kx+b，把C、M的坐标代入得到方程组，求出方程组的解即可；
（3）①∠MO₂P=30°，过B作BQ⊥OM于Q，求出MQ，BQ，过P'作P'W⊥X轴于W，根据相似三角形的性质求出PW即可得到P的坐标，根据相似三角形的性质求出k即可；②∠MO₂P=120°，过P作PZ⊥X轴于Z，根据含30度角的直角三角形性质求出PZ，即可得到P的坐标，根据相似三角形的性质求出k即可．

解答：解：（1）连接BO₁，O₂A作O₁N⊥O₂A于N，连接OA，
∵直线AB切⊙O₁于点B，切⊙O₂于点A，交y轴于点C（0，2），
∴CA=CB，CA=CO（切线长定理），
∴CA=CB=CO，
∴AB=2OC=4，
设O₁B为r，由O₁O₂²-O₂N²=O₁N²得（4r）²-（2r）²=4²，
解得r=

2 3

3

，3r=2

3

，
答：⊙O₂的半径的长为2

3

．

（2）∵O₂N=3r-r=2r，O₁O₂=r+3r=4r，
∴∠NO₁O₂=30°，
∴∠CMO=∠NO₁O₂=30°，
∵OM=

OC

tan30°

=2

3

，
M（-2

3

，0），
设线段AB的解析式是y=kx+b，
把C、M的坐标代入得：

0=-2 3 k+b 2=b

，
解得：k=

3

3

，b=2，
∴线段AB的解析式为y=

3

3

x+2（-

3

≤x≤

3

）；

（3）△MOB是顶角为120°的等腰三角形，其底边的长为2

3

，
假设满足条件的点P存在，
①∠MO₂P=30°，
过B作BQ⊥OM于Q，
∵OB=MB，
∴MQ=OQ=

3

，
∵∠BMO=30°，
∴BQ=1，BM=2，
过P'作P'W⊥X轴于W，
∴P'W∥BQ，
∴

BQ

PW

=

MQ

MO

=

1

2

，
∴P'W=2，
即P'与C重合，
P'（0，2），
∴k=(

2

1

)2=4；
②∠MO₂P=120°，
过P作PZ⊥X轴于Z，
PO₂=O₂M=4

3

，∠PO₂Z=60°，
∴O₂Z=2

3

，
由勾股定理得：PZ=6，
∴P（4

3

，6），
∴k=(

4 3

2

)2=12，
答在直线AB上存在点P，使△MO₂P与△MOB相似，点P的坐标是（0，2）或（4

3

，6），k的值是4或12．

点评：本题主要考查对相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，解一元一次方程等知识点的连接和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．