Question

已知，Rt△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠A=90°，点B、C都在x轴上，且点A的坐标为（2，），∠ABC=30°，若抛物线y=ax²+bx+c恰好过A、B、C三点，且与y轴交于点D．
（1）求点B、C的坐标和抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（2）若点E是抛物线y=ax²+bx+c对称轴上一动点，试确定当点E在何处时，△AEC的周长最小？最小是多少？
（3）若点P为抛物线在第一象限图象上的动点，试确定当点P在何处时，四边形PDBC的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

解：（1）过点A作AF⊥x轴于点F，在Rt△AFB中，
∵∠ABC=30°，点A的坐标为（2，），
∴OF=2，AF=，∠ACF=60°，
∴BF==3，
∴OB=BF-OF=3-2=1，
∴点B的点标为（-1，0），
在Rt△AFC中，由∠ACF=60°，
∴FC==1，
∴点C的坐标为（3，0），
将A、B、C三点坐标分别代入y=ax²+bx+c得：
，
解得：，
∴该抛线的解析式为：y=-x²+x+…

（2）∵y=-x²+x+
=-（x-1）²+，
∴抛物线的对称轴为x=1，
∴点B、C关于直线x=1对称，
求△AEC的周长的最小值，即为求AE+EC+AC的最小值，
由对称性知，AE+EC的最小值为AB的长，即当点E运动到AB与抛物线对称轴x=1的交点处时，△AEC的周长最小，
由B（-1，0），A（2，）可得AB所在直线的解析式为：y=x+，…
当x=1时，y=，
故点E的坐标为（1，），
此时，△AEC的周长最小，最小值为AB+AC=+2…

（3）连接结PO，设点P的坐标为（t，-）其中O＜t＜3，
过点P分别向 x轴，y轴作垂线，垂足分别为N、G，
由（1）知，点D的坐标为（0，）…
则S_{四边形PDBC}=S_△POC+S_△POD+S_△BOD
=×OC×PN+×OD×PG+×OB×OD
=×3×（-）+××t+×1×
=…
故当时，四边形PDBC的面积最大，最大面积为，
此时点P的坐标为（，）．…
分析：（1）首先过点A作AF⊥x轴于点F，由点A的坐标为（2，），∠ABC=30°，利用直角三角形的性质，即可求得点B与C的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）由（1），可求得抛物线的对称轴，又由点B、C关于直线x=1对称，求△AEC的周长的最小值，即为求AE+EC+AC的最小值，由对称性知，AE+EC的最小值为AB的长，即当点E运动到AB与抛物线对称轴x=1的交点处时，△AEC的周长最小，继而可求得答案；
（3）首先连接结PO，设点P的坐标为（t，-），过点P分别向 x轴，y轴作垂线，垂足分别为N、G，由S_{四边形PDBC}=S_△POC+S_△POD+S_△BOD，即可求得答案．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、三角形周长最小值问题以及四边形面积最小值问题．此题综合性很强，难度很大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意准确作出辅助线．