Question

如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC=4，∠OAC=60°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）P为BA延长线上的一点，当PC与⊙O相切时，求PO的长．

Answer 1

分析：（1）由OA、OC都是⊙O的半径知，△AOC是等腰三角形，然后根据等腰三角形的两个底角相等的性质求得∠OAC=∠OCA=60°；
（2）根据（1）的结论推知，△AOC是等边三角形，所以∠POC=60°；然后根据切线的性质求得∠PCO=90°；最后在Rt△POC中，由∠POC的余弦函数值来求PO的长．

解答：解：（1）在△OAC中，
∵OA=OC（⊙O的半径），∠OAC=60°，
∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）；
又∵∠OAC=60°，
∴∠AOC=60°；

（2）由（1）知，在△OAC中，∠OAC=∠OCA=60°，
∴∠COA=60°（三角形的内角和是180°）；
∵CP与⊙O相切，
∴∠PCO=90°；
在Rt△POC中，cos∠POC=cos60°=

4

PO

，
∴PO=8．

点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．