Question

【题目】若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系．若，是方程的两根，记，，…，，

________；________；________；________；（直接写出结果）

当为不小于的整数时，由猜想，，有何关系？

利用中猜想求的值．

Answer 1

【答案】（1）1，3，4，7；（2）；（3）29

【解析】

对于（1）根据根与系数的关系，写出α＋β，αβ的值，然后运用完全平方公式和立方和公式进行计算，求出S1，S,2，S3，S4的值.

对于（2）利用（1）中S2＝3,S3＝4,S4＝7,猜想Sn＝Sn－1＋Sn－2,然后由α，β是方程的根，得到α2＝α＋1，,β2＝β＋1进行证明.

对于（3）根据（2）中的猜想得到上式为S7＝S6＋S5进行计算，求出式子的值.

由得：．

证明：∵，是方程的根，∴有：，，

．

故．由有：

．