Question

如图，已知AB是⊙O的一条弦，DE是⊙O的直径且DE⊥AB于点C，
（1）若OC=3，OA=5，求AB的长；
（2）求证：∠EAO=∠DAB．

Answer 1

解：（1）∵DE是⊙O的直径，DE⊥AB，
∴DE平分AB，即AC=BC，
又∵OC=3，OA=5，
∴AC==4，
∴AB=2AC=8．

（2）∵直径DE⊥AB，
∴弧AD=弧BD，
∴∠E=∠DAB，
又∵OA=OE，
∴∠EAO=∠E，
所以∠EAO=∠DAB．
分析：（1）由DE⊥AB，得∠OCA=90°，OC=3，OA=5，通过勾股定理即可求出AC；由DE是⊙O的直径，所以DE平分AB，得到AB=2AC，即可得到AB；
（2）由OA=OE，得∠EAO=∠E，而直径DE⊥AB，则弧AD=弧BD，所以∠E=∠DAB，由此得到∠EAO=∠DAB．
点评：本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了垂径定理以及勾股定理．