Question

（2012•郴州）阅读下列材料：
    我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，而y=kx+b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax+Bx+C=0（A、B、C是常数，且A、B不同时为0）．如图1，点P（m，n）到直线l：Ax+By+C=0的距离（d）计算公式是：d=

|A×m+B×n+C|

A2+B2

．

    例：求点P（1，2）到直线y=

5

12

x-

1

6

的距离d时，先将y=

5

12

x-

1

6

化为5x-12y-2=0，再由上述距离公式求得d=

|5×1+(-12)×2+(-2)|

52+(-12)2

=

21

13

．
    解答下列问题：
    如图2，已知直线y=-

4

3

x-4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=x²-4x+5上的一点M（3，2）．
    （1）求点M到直线AB的距离．
    （2）抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标及△PAB面积的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将直线AB的解析式y=-

4

3

x-4转化为直线的另一种表达方式4x+3y+12=0，由阅读材料中提供的点到直线的距离公式，即可求出M点到直线AB的距离；
（2）假设抛物线上存在点P，使得△PAB的面积最小，设P坐标为（a，a²-4a+5），然后利用点到直线的距离公式表示出P点到直线AB的距离d，由二次函数y=3a²-8a+27中根的判别式小于0，得到此二次函数与x轴没有交点且开口向上，得到函数值恒大于0，根据正数的绝对值等于它本身进行化简，然后根据二次函数求最值的方法求出y=3a²-8a+27的最小值，以及此时a的值，进而确定出d的最小值以及此时P的坐标，再由直线AB的解析式，令x=0和y=0求出对应的y与x的值，确定出OA与OB的长，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的长，由底AB乘以高d的最小值除以2，即可得出△PAB面积的最小值．

解答：解：（1）将直线AB变为：4x+3y+12=0，
又M（3，2），
则点M到直线AB的距离d=

|12+6+12|

42+32

=6；

（2）假设抛物线上存在点P，使得△PAB的面积最小，设P坐标为（a，a²-4a+5），
∵y=3a²-8a+27中，△=64-12×27=-260＜0，
∴y=3a²-8a+27中函数值恒大于0，
∴点M到直线AB的距离d=

|4a+3(a2-4a+5)+12|

42+32

=

3a2-8a+27

5

，
又函数y=3a²-8a+27，当a=

4

3

时，y_min=

65

3

，
∴d_min=

65 3

5

=

13

3

，此时P坐标为（

4

3

，

13

9

）；
又y=-

4

3

x-4，令x=0求出y=-4，令y=0求出x=-3，
∴OA=3，OB=4，
∴在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB=

32+42

=5，
∴S_△PAB的最小值为

1

2

×5×

13

3

=

65

6

．

点评：此题考查了二次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，坐标与图形性质，二次函数与坐标轴的交点，以及点到直线的距离公式，其中理解题中的阅读材料，灵活运用点到直线的距离公式是解本题的关键．