Question

已知关于x的一元二次方程x² = 2（1－m）x－m² 的两实数根为x₁，x₂．
【小题1】求m的取值范围
【小题2】设y = x₁ + x₂，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

Answer 1

【小题1】∵一元二次方程x² = 2（1－m）x－m² 的两实数根
∴x² －2（1－m）x+m² ＝0 
∵△=b²-4ac＝[2（1-m）]²-4m²="4" -8m≥0，………………………3分
∴m≤          …………………………………………………5分
【小题2】∵一元二次方程x² = 2（1－m）x－m²，
∴x₁+x₂=2-2m，…………………………………………………7分
∴y=x₁+x₂="2(1-m" )…………………………………9分
∵此二次函数图象开口向上，y有最小值，
∴当m=时，y有最小值y= -2m+2=1………10分解析:
（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于m的不等式，可求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x₁+x₂的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值．