Question

（2003•广东）如图，灯塔A周围1000米水域内有礁石，一舰艇由西向东航行，在O处测得灯塔A在北偏东74°方向线上，这时O、A相距4200米，如果不改变航向，此舰艇是否有触礁的危险？（指定数学课使用科学记算器的地区的考生须使用计算器计算．以下数据供计算器未进入考场的地区的考生选用：cos74°=0.2756，sin74°=0.9613，cot74°=0.2867，tan74°=3.487）

Answer 1

【答案】分析：本题可通过构造直角三角形来求解．过A作AB与正东方向线垂直，垂足为B．那么只需比较AB的值是否大于1000，如果大于则没有触礁危险，反之则有，那么求AB就是问题的关键，直角三角形AOB中，∠AOB的度数是容易求出的，又已知了OA的长，AB就不难求出了．
解答：解：过A作AB与正东方向线垂直，垂足为B．
在Rt△AOB中，OA=4200，∠AOB=90°-74°=16°
∴AB=AO•sin∠AOB
=4200•sin16°
=4200•cos74°
=4200×0.2756
≈1158（米）＞1000（米）
答：此舰按原航向继续航行没有触礁危险．
点评：本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．