Question

【题目】如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．

（1）求证：四边形BECD是平行四边形；

（2）若∠E＝60°，AC＝，求菱形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后证明得到BE＝CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形；
（2）欲求菱形ABCD的面积，已知AC＝，只需求得BD的长度即可．利用平行四边形以及菱形的性质可得AC⊥CE，再解直角△ACE求出CE的长度，即为BD的长度．则利用菱形ABCD的面积等于两对角线乘积的一半即可求解．

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形

∴AB=CD,AB∥CD

又∵BE=AB，

∴BE=CD,BE∥CD

∴四边形BECD是平行四边形

（2）解：∵四边形BECD是平行四边形

∴BD∥CE

∵四边形ABCD是菱形

∴AC⊥BD

∴AC⊥CE

∴∠ACE=90°

∵Rt△ACE中，∠E=60°，AC＝，

∴∠EAC=30°

∴AE=2CE

设CE=x，AE=2x

由题意得：(2x)2- x2=()2

解得x=1（负值舍去）

∴CE=1，AE=2

∵四边形BECD是平行四边形

∴BD=CE=1

∴菱形ABCD的面积=