Question

（1）如图1，抛物线y=ax²（a≠0）的顶点为P，C、D是抛物线上的两点，CA、DB分别垂直于x轴，垂足为A、B，且PA=AB，若点A的横坐标为b，在直线PC上是否存在一点M，使得△MBD是以BD为底的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；
（2）如图2，若将（1）中“抛物线y=ax²（a≠0）”改为“抛物线y=ax²-2amx+am²（a≠0）”，其他条件不变，试探究（1）中的问题．

Answer 1

解：（1）由题意，知：P（0，0），A（b，0），B（2b，0），C（b，ab²），D（2b，4ab²）；
设直线PC的解析式为：y=kx，则有：
bk=ab²，k=ab，
故直线PC：y=abx；
易知BD的中点为：（2b，2ab²），
当y=2ab²时，abx=2ab²，即x=2b；
故直线PC经过BD的中点，
所以在直线PC上不存在符合条件的M点．

（2）由于y=ax²-2amx+am²=a（x-m）²，同（1）可得：
P（m，0），A（b，0），B（2b-m，0），C（b，a（x-m）²），D（2b-m，4a（b-m）²）；
设直线PC的解析式为：y=kx+h，
则有：，
解得；
故直线PC：y=a（b-m）x-am（b-m）；
BD的中点为（2b-m，2a（b-m）²），
当y=2a（b-m）²时，a（b-m）x-am（b-m）=2a（b-m）²，x=2b-m；
即直线PC经过BD的中点，
故直线PC上不存在符合条件的M点．
分析：两个小题的解法是一致的，首先根据A点坐标求出B点坐标，进而根据抛物线的解析式，求出C、D的坐标；然后利用待定系数法求得直线PC的解析式，如果△MBD是以BD为底的等腰三角形，那么点M的纵坐标必为D点纵坐标的一半，将其代入直线PC的解析式中进行求解即可．需要注意的是若直线BD与直线PC的交点为BD的中点时，点M是不符合题意的，因为此时D、B、M三点共线，不能构成三角形．
点评：此题主要考查了函数图象上点的坐标意义、函数图象交点坐标的求法、等腰三角形的判定和性质等知识，虽然大部分数据都是未知数，但是只要按照常规思维细心求解即可．