Question

如图，在△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=3，AB=5，过点A作AD⊥AB交BC的延长线于点D．动点P从点B出发以每秒3个单位的速度沿B-A-D方向向终点D运动，另一动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A-C-B方向向终点B运动，连接PQ．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点，则另一点也立即停止运动．设动点运动的时间为t秒．
（1）求线段AD的长；
（2）当点Q在线段AC上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围；
（3）请探索：在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使得直线PQ与△ABC的一边平行？若存在，请求出所有满足条件t的值；若不存在，请说明理由；
（4）当t=

35

12

或

475-5 3265

192

时，点P、Q、D恰好在同一条直线上？（请直接写出答案）

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理求得BC=4；然后利用相似三角形△ADC∽△BAC的对应边成比例知

AD

AB

=

AC

BC

，由此可以求得线段的长度；
（2）作辅助线PM（过点P作PM⊥AC于点M）构建平行线PM∥BC，然后利用平行线截线段成比例知

PM

CB

=

AP

AB

，即PM=

4

5

（5-3t），最后由三角形的面积公式即可列出△APQ的面积S关于t的函数关系式；
（3）需要分类讨论：当PQ∥BC、PQ∥AC以及PQ∥AB时，由平行线截线段成比例列出比例式，即可求得相应的t值；
（4）①当点P与点D重合、点Q在线段BC上时，点P、Q、D恰好在同一条直线上；②如图5，当点P在线段AB上，点Q在线段AC上时，点P、Q、D恰好在同一条直线上．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，AB=5，
∴BC=4（勾股定理）；
又∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°．
∵∠D+∠CAD=90°，∠CAD+∠BAC=90°，
∴∠D=∠BAC（等量代换），
又∵∠ACD=∠BCA=90°，
∴△ADC∽△BAC，
∴

AD

BA

=

AC

BC

（相似三角形的对应边成比例），即

AD

5

=

3

4

，
∴AD=

15

4

；

（2）如图1，过点P作PM⊥AC于点M．
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴PM∥BC，
∴

PM

CB

=

AP

AB

（平行线截线段成比例）．
∵BC=4，AP=5-3t，AB=5，
∴PM=

4

5

（5-3t），
∴S=

1

2

AQ•PM=

1

2

×2t×

4

5

（5-3t）=-

12

5

t²+4t（0≤t≤

3

2

）；

（3）存在，有三种情况：
如图2，当0≤t≤

3

2

时，令PQ∥BC，得

5-3t

5

=

2t

3

，解得t=

15

19

；
如图3，当

3

2

＜t≤

5

3

时，令PQ∥AC，得

3t

5

=

7-2t

4

，解得t=

35

22

；
如图4，当

5

3

＜t＜

35

22

时，令PQ∥AB，得

35 4 -3t

15 4

=

2t-3+ 9 4

25 4

，解得，t=

46

21

；
综上所述，当t=

15

19

或

35

22

或

46

21

时，直线PQ与△ABC的一边平行．

（4）当点P与点D重合、点Q在线段BC上时，点P、Q、D恰好在同一条直线上，
此时t=

AB+AD

3

=

5+ 15 4

3

=

35

12

．
如图5，当点P在线段AB上，点Q在线段AC上时，点P、Q、D恰好在同一条直线上．
过点P作PM⊥BC于点M．则QC∥PM．
∵sin∠B=

AC

AB

=

PM

BP

，即

3

5

=

PM

3t

，解得PM=

9t

5

；
cos∠B=

BC

AB

=

BM

BP

，即

4

5

=

BM

3t

，解得BM=

12t

5

．
∵△ADC∽△BAC，
∴

AC

BC

=

CD

AC

，即

3

4

=

CD

3

，解得CD=

9

4

，
∴DM=CD+BC-BM=

25

4

-

12t

5

．
∵QC∥PM，
∴

DC

DM

=

QC

PM

（平行线分线段成比例），即

9 4

25 4 - 12t 5

=

3-2t

9t 5

，解得t=

475-5 3265

192

．
则t=

35

12

或 

475-5 3265

192

．
故答案是：

35

12

或 

475-5 3265

192

．

点评：本题考查了相似综合题：相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线截线段成比例等知识点的综合运用．