Question

如图，经过x轴上A（-1，0）、B（3，0）两点的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）交y轴的正半轴于点C，设抛物线的顶点为D．
（1）用含a的代数式表示出点C、D的坐标；
（2）若∠BCD=90°，请确定抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，能否在抛物线上找到另外的点Q，使△BDQ为直角三角形？如果能，请直接写出点Q的坐标；如不能，说明理由．

Answer 1

解：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，得：
，
则；
∴y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a；
故D（1，-4a），C（0，-3a）．

（2）由于B（3，0），C（0，-3a），D（1，-4a），则：
BD²=16a²+4，BC2=9a²+9，CD²=a²+1；
若∠BCD=90°，则：BD²=BC²+CD²，即：
16a²+4=9a²+9+a²+1，
解得a=-1（正值舍去），
故抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3．

（3）易知C（0，3），D（1，4）；
而B（3，0），
则直线BD：y=-2x+6；
①∠BDQ=90°，可设直线DQ：y=x+m，则有：
+m=4，m=；
即y=x+；
联立抛物线的解析式有：
，
解得，；
∴点Q（，）；
②∠DBQ=90°，同理可设直线BQ：y=x+n，
则：+n=0，n=-，
即y=x-；
联立抛物线的解析式有：
，
解得，；
∴点Q（-，-）；
综上可知，存在符合条的Q点，且坐标为：．
分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可得到a、b、c的关系式，进而可得到C、D的坐标．
（2）根据B、C、D三点坐标，分别表示出BC²、CD²、BD²的值，若∠BCD=90°，则由勾股定理可得BC²+CD²=BD²，从而可求得a的值和抛物线的解析式．
（3）根据B、D的坐标可得直线BD的解析式，若△BDQ是直角三角形，则有两种情况需要讨论：
①D是直角顶点，此时QD⊥BD，即两条直线的斜率的积为-1，结合点D的坐标，即可求得直线QD的解析式，联立抛物线的解析式，即可得到点Q的坐标；
②B是直角顶点，方法同①．
点评：此题考查了函数图象上点的坐标意义、二次函数解析式的确定、勾股定理、直角三角形的判定等知识，要注意的是（3）题中，由于D、B都有可能是直角顶点，所以一定要分类讨论，以免漏解．