Question

正方形OABC的边长为2，把它放在如图所示的直角坐标系中，点M（t，0）是X轴上一个动点，连接BM，在BM的右侧作正方形BMNP；直线DE的解析式为y=2x+b，与X轴交于点D，与Y轴交于点E，当三角形PDE为等腰直角三角形时，点P的坐标是    ．

Answer 1

【答案】分析：过点P作PF⊥BC交CB的延长线于点F，根据同角的余角相等可得∠ABM=∠FBP，然后利用“角角边”证明△ABM和△FBP全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AB，PF=AM，然后根据正方形OABC的边长为2以及点M（t，0）表示出点P的坐标，再利用直线DE的解析式求出点D、E的坐标，然后分①DE是斜边时，利用勾股定理以及两点间的距离公式分别表示出PD、PE、DE的平方，再根据等腰直角三角形的三边关系，②PD是斜边时，过点P作PF⊥y轴于点F，然后利用“角角边”证明△EDO和△PEF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=DO，PC=EO，然后用b、t表示并求解即可得到点P的坐标．
解答：解：如图，过点P作PF⊥BC交CB的延长线于点F，
∵四边形OABC与四边形BMNP都是正方形，
∴∠ABM+∠MBF=90°，
∠FBP+∠MBF=90°，
∴∠ABM=∠FBP，
在△ABM和△FBP中，，
∴△ABM≌△FBP（AAS），
∴BF=AB，PF=AM，
∵正方形OABC的边长为2，点M（t，0），
∴BF=2，PF=t-2，
点P到x轴的距离为t-2+2=t，
∴点P的坐标为（4，t），
又∵当y=0时，2x+b=0，解得x=-，
当x=0时，y=b，
∴点D（-，0），E（0，b），
①DE是斜边时，
PD²=（+4）²+t²，PE²=（b-t）²+4²，DE²=（）²+b²，
∵△PDE是等腰直角三角形，
∴PD²=PE²，且PD²+PE²=DE²，
即（+4）²+t²=（b-t）²+4²，且（+4）²+t²+（b-t）²+4²=（）²+b²，
b²+4b+16+t²=b²-2bt+t²+16，且b²+4b+16+t²+b²-2bt+t²+16=b²+b²，
整理得，b=（t+2）且t²-b（t-2）+16=0，
∴t²-（t+2）（t-2）+16=0，
整理得，t²=16，
解得t₁=4，t₂=-4（舍去），
∴点P的坐标是（4，4）；

②PD是斜边时，∵△PDE是等腰直角三角形，
∴PE⊥DE，且PE=DE，
过点P作PF⊥y轴于点F，
∵∠DEO+∠PEO=90°，∠DEO+∠EDO=90°，
∴∠PEO=∠EDO，
在△EDO和△PEF中，，
∴△EDO≌△PEF（AAS），
∴EF=DO=，PC=EO=b，
又∵点P（4，t），
∴b=4，b-t=，
解得t==×4=2，
∴点P坐标为（4，2），
此时点C、F重合，点M、N重合，
综上所述，点P的坐标为（4，4）或（4，2）．
故答案为：（4，4）或（4，2）．
点评：本题是一次函数的综合题型，主要利用了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直线与坐标轴的交点的求解，勾股定理的应用，综合题但难度不大，要注意分情况讨论．