Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．

（1）求出△ABC的周长．

（2）在直线BC上方有一点Q，连接QC、QB，当△QBC面积最大时，一动点P从Q出发，沿适当路径到达y轴上的M点，再沿与对称轴垂直的方向到达对称轴上的N点，连接BN，求QM+MN+BN的最小值．

（3）在直线BC上找点G，K是平面内一点，在平面内是否存在点G，使以O、C、G、K为顶点的四边形是菱形？若存在，求出K的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，满足条件的点K的坐标为（，）或（，）或（，）．

【解析】

（1）利用待定系数法求出A，B，C的坐标即可解决问题．

（2）如图1中，作QH∥OC交BC于H．设Q（m，m2m+3），构建二次函数求出△BCQ的面积最大时Q的坐标，如图2中，作点Q关于y轴的对称点Q'，在Q'Q上取一点Q″，使得Q'Q″=MN，连接Q″B交对称轴于N，作NM⊥y轴于M，连接QM，则此时QM+MN+BN的值最小．求出BQ″的长即可解决问题．

（3）分二种情形：当OC=CG时，可得菱形OCGK，菱形OCG'K'．当CG″是菱形的对角线时，可得菱形OCK″G″，分别求解即可解决问题．

（1）对于抛物线y，

令x=0，得到y=3，可得C（0，3），

令y=0，得到x2﹣5x﹣6=0，解得：x=﹣1或6，

∴A（﹣1，0），B（6，0），

∴OA=1，OC=3，OB=6，

∴AB=7，AC2，BC3，

∴△ABC的周长=7+237+5．

（2）如图1中，作QH∥OC交BC于H．

设Q（m，m2m+3），

∵C（0，3），B（6，0），

∴直线BC的解析式为yx+3，

∴H（m，m+3），

∴QHm2+3m，

∴S△QBCQH（Bx﹣x）（m2+3m）×6

（m﹣3）2，

∵0，

∴m=3时，△BCQ的面积最大，此时Q（3，6），

如图2中，作点Q关于y轴的对称点Q'，在Q'Q上取一点Q″，

使得Q'Q″=MN，

连接Q″B交对称轴于N，作NM⊥y轴于M，连接QM，

则此时QM+MN+BN的值最小．

∵Q'（﹣3，6），Q'Q″，

∴Q″（，6），

BQ″，

∵QM=MQ'，四边形Q'Q″NM是平行四边形，

∴NQ″=MQ'，

∴MQ+MN+BN=MN+NQ″++BN=MN+BQ″，

∴QM+MN+BN的最小值为．

（3）如图3中，

①当OC=CG时，可得菱形OCGK，菱形OCG'K'．

设G（m，）．

∵GK∥CO，GK=CO，

∴K（m，）．

∵OC=CG，

∴，

整理得：，

解得：m=，或m=．

当m=时，=，

此时G（，），K（，）；

当m=时，=，

此时G'（，），K'（，）；

②当CG″是菱形的对角线时，可得菱形OCK″G″，设对角线的交点为T．

设G″（m，）．

∵G″K″∥CO，G″K″=CO，

∴K″（m，）．

∵OG″=CO，

∴，

整理得：，

解得：m=0（舍去），或m=．

当m=时，=，此时G″（，），K″（，）．

综上所述：满足条件的点K的坐标为（，）或（，）或（，）．