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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（-2，0），O（0，0），B（0，2），把Rt△AOB绕着点O顺时针旋转90°得到Rt△B精英家教网OC，（点A旋转到点B的位置），抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点D，顶点为点P，对称轴为直线x=3，
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）连接BC，CP，PD，BD，求四边形PCBD的面积；
    （3）在抛物线上是否存在一点M，使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积
    13
    ？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
    分析：（1）由于抛物线的对称轴是x=3，可设抛物线的解析式为顶点式，即设y=a（x-3）2+k，又抛物线经过B（0，2），C（2，0），用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
    （2）如果设对称轴与x轴的交点为N，那么S四边形PCBD=S△BCD+S△pCD，根据三角形的面积公式即可求出四边形PCBD的面积；
    （3）首先根据△MDC的面积等于四边形PCBD的面积
    1
    3
    ，求出M点的纵坐标的绝对值，再由M点在抛物线y=
    1
    4
    x2-
    3
    2
    x+2    上，求出对应的x的值，进而得出点M的坐标．
    解答：解：（1）由题意得：B（0，2），C（2，0），对称轴x=3，
    设抛物线的解析式为y=a（x-3）2+k，
    ∵抛物线经过B（0，2），C（2，0），
    ∴2=9a+k，0=a+k（2分）
    解得：a=
    1
    4
    ，k=-
    1
    4
    ，
    ∴y=
    1
    4
    （x-3）2-
    1
    4
    ，
    ∴抛物线的解析式为y=
    1
    4
    x2-
    3
    2
    x+2    ；

    （2）设对称轴与x轴的交点为N，
    由图可知：CD=2，
    S△BCD=
    1
    2
    •CD•OB=
    1
    2
    ×2×2=2，
    S△pCD=
    1
    2
    CD•PN=
    1
    2
    CD•|Py|=
    1
    2
    ×2×
    1
    4
    =
    1
    4
    ，
    ∴S四边形PCBD=S△BCD+S△pCD=2+
    1
    4
    =
    9
    4
    ；

    （3）假设存在一点M，使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积
    1
    3
    ．
    即：S△MCD=
    1
    3
    S四边形PCBD，
    1
    2
    CD•|My|=
    9
    4
    ×
    1
    3
    ，
    |My|=
    3
    4
    ，（6分）
    又∵点M在抛物线上，
    ∴|
    1
    4
    x2-
    3
    2
    x+2    |=
    3
    4
    ，
    ∴
    1
    4
    x2-
    3
    2
    x+2    =±
    3
    4
    ，
    ∴x2-6x+8=±3，
    ∴x2-6x+5=0或x2-6x+11=0，
    由x2-6x+5=0，
    得x1=5，x2=1，
    由x2-6x+11=0，
    ∵b2-4ac=36-44=-8＜0，
    ∴此方程无实根．
    当x1=5时，y1=
    3
    4
    ；当x2=1时，y2=
    3
    4
    ．
    ∴存在一点M（5，
    3
    4
    ），或（1，
    3
    4
    ）使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积
    1
    3
    ．
    点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
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    ．

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    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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