Question

如图直线分别交x轴、y轴于点A和B，点P（t，0）是x轴上一动点，P、Q两点关于直线AB轴对称，PQ交AB于点M，作QH⊥x轴于点H．
（1）求tan∠OAB的值；
（2）当QH=2时，求P的坐标；
（3）连接OQ，是否存在t的值，使△OQH与△APM相似？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据直线解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解；
（2）根据勾股定理求出AB的长度，再根据∠QPH的正弦等于∠OAB的余弦求出QP的长，然后根据轴对称的性质求出PM的长，再利用∠OAB的正弦值求出AP的长，再分点P在点A的左边与右边两种情况求出OP的长度，即可得到点P的坐标；
（3）分点P在点A的左边与右边两种情况，根据点P的坐标表示出AP的长，再利用∠OAB的正弦值表示出PM，根据轴对称的性质表示出PQ，利用∠QPH的正弦表示出QH，余弦表示出PH，从而可以表示出OH，再根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似，分两种情况列式求解即可．
解答：解：（1）令y=0，则-x+2=0，解得x=4，
令x=0，则y=2，
所以，点A（4，0），B（0，2），
所以，OA=4，OB=2，
tan∠OAB===；

（2）根据勾股定理，AB===2，
∵P、Q两点关于直线AB轴对称，
∴∠OAB+∠QPH=90°，
∴sin∠QPH=cos∠OAB==，
cos∠QPH=sin∠OAB==，
∵QH⊥x轴，QH=2，
∴PQ=QH÷sin∠QPH=2÷=，
∵P、Q两点关于直线AB轴对称，PQ交AB于点M，
∴PM=PQ=，
∴AP=PM÷sin∠OAB=÷=，
①当点P在点A的左边时，OP=OA-AP=4-=，
此时，点P的坐标是（，0），
②当点P在点A的右边时，OP=OA+AP=4+=，
此时，点P的坐标是（，0）；
故，点P的坐标为（，0）或（，0）；

（3）①当点P在点A的左边时，
∵点P的坐标为（t，0），
∴AP=4-t，PM=AP•sin∠OAB=（4-t），
∵P、Q两点关于直线AB轴对称，PQ交AB于点M，
∴PQ=2PM=（4-t），
QH=PQ•sin∠QPH=（4-t）×=，
PH=PQ•cos∠QPH=（4-t）×=，
当点P在点O右侧时，OH=OP+PH=t+=，
∵△OQH与△APM相似，
∴==tan∠OAB或==tan∠OAB，
即=或=，
解得t=0或t=；
当点P在点O左侧时，OH=OP-PH=（-t）-=-，
∵△OQH与△APM相似，
∴==tan∠OAB或==tan∠OAB，
即=或=，
解得t=-16或t=8（舍去）；
②当点P在点A的左边时，
∵点P的坐标为（t，0），
∴AP=t-4，PM=AP•sin∠OAB=（t-4），
∵P、Q两点关于直线AB轴对称，PQ交AB于点M，
∴PQ=2PM=（t-4），
QH=PQ•sin∠QPH=（t-4）×=，
PH=PQ•cos∠QPH=（t-4）×=，
∴OH=OP-PH=t-=，
∵△OQH与△APM相似，
∴==tan∠OAB或==tan∠OAB，
即=或=，
解得t=-16（舍去）或t=8，
综上所述，存在t的值，t=0或t=或t=-16或t=8，使△OQH与△APM相似．
点评：本题是对一次函数的综合考查，主要涉及一次函数与坐标轴的交点，锐角三角形函数，相似三角形对应边成比例，解直角三角形，（2）要分点P在点A的左右两边两种情况讨论，（3）根据点P的位置的不同，分别列出OH的不同表示是解题的关键，还要根据相似三角形对应边不明确需要分情况讨论．