Question

如图，已知抛物线经过原点O与x轴上另一点A，它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B（-2，m），且与y轴、直线x=2分别交于点D、E。

（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）求证：①CB=CE；②D是BE的中点；
（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB=PE，若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵点B（-2，m）在直线y=-2x-1上， ∴m=3， 设y=a（x-2）2+h， ∵点B（-2，m）、O（0，0）在抛物线上， ∴a=，h=-1， ∴y=（x-2）2-1；
（2）证明：∵直线y=-2x-1与x=2的交点E（2，-5）且C（2，0）， ∴CE=5， ∵B（-2，3）， ∴BC=5， ∴BC=CE， ∵D（0，-1）， ∴DE=， BD=， ∴DE=BD， ∴D是BE的中点；
（3）存在。要使得PB=PE，则点P应该在线段BE的垂直平分线上，由（2）知CD是线段BE的垂直平分线，所以作直线CD交抛物线于点P1、P2， 设过点C、D的直线为y=kx+b， ∴，∴， 直线CD的解析式为：， 点P1、P2为直线CD与抛物线的两个交点， ∴， ∴能使得PB=PE。