Question

如图，菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，AC交BE于点F，连接DF，AD=5，BE=4．动点P从点A出发，沿折线A-D-C方向以1个单位/秒的速度向终点C匀速运动，点P的运动时间为t秒．
（1）请求出线段EF的长度；
（2）设PF²=y，请直接写出y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，若∠FPD与∠BCD互余，求此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值．

Answer 1

分析：（1）由菱形的“四条边相等，对边互相平行的性质以及勾股定理”求得AE=3．然后根据相似三角形（△AEF∽△CBF）的对应边成比例列出比例式

AE

BC

=

EF

BF

，即

3

5

=

EF

4-EF

，易求EF的长度；
（2）分P在AD上和P在CD上两种情况进行讨论，当0≤t≤5时，在直角△EFP中利用勾股定理即可求得；当5＜t≤10时，作CD的垂线BM，在直角△BMP中，利用勾股定理即可求得函数的解析式；
（3）若∠BCD+∠FPD=90°，易证△ABF≌△ADF，则∠3=∠ABE=∠FPD，当点P在AD上时可以证得△APG∽△CBG，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得AG的长，进而得到OG的长，根据三角函数的定义求解；当点P在CD上时，易证△ABG∽△CPG，根据相似三角形的对应边相等即可求得CG的长，进而得到OG的长，然后利用三角函数的定义即可求解．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD=5，AD∥BC，AB∥CD．
∵BE⊥AD，
∴在Rt△ABE中，AE=

AB2-BE2

=

52-42

=3．
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴

AE

BC

=

EF

BF

，即

3 2

5 2

=

EF

4-EF

，
∴EF=

3

2

；

（2）当0≤t≤5时，y=（t-3）²+

9

4

．
当5＜t≤10时，y=（t-5）²+

25

4

．

（3）连接BP交AC于点G，连接BD交AC于点O．
在Rt△BED中，BD=

DE2+BE2

=2

5

，
∵菱形ABCD，
∴∠BCD=∠BAD，∠1=∠2，BD⊥AC．BO=OD=

5

，AO=CO，
∴Rt△AOD中，AO=

AD2-OD2

=2

5

=CO．
∴Rt△ABE中，∠ABE+∠BAD=90°，
∴若∠BCD+∠FPD=90°，则∠FPD=∠ABE，
在△ABF和△ADF中，

AB=AD ∠DAF=∠BAF AF=AF

∴△ABF≌△ADF，
∴∠3=∠ABE=∠FPD，
当点P在AD上时，∵∠3=∠FPD，
∴PF=DF
∵EF⊥PD，
∴PE=DE=2，
∵AD∥BC
∴△APG∽△CBG，
∴

AP

CB

=

AG

CG

，即

1

5

=

AG

4 5 -AG

，
∴AG=

2 5

3

，
∴OG=

4 5

3

，
∴Rt△BOG中，tan∠BGO=

OB

OG

=

5

4 5 3

=

3

4

，
∵菱形ABCD中，BE⊥AD，∠ACB=∠ACD，
∴BE⊥BC，即∠FBC=90°，
在△BCF和△DCF中，

DC=BC ∠DCF=∠BCF CF=CF

，
∴△BCF≌△DCF，
∴∠FED=∠FDP=90°
又∵当点P在CD上时，∠3=∠FPD，
∴△FED∽△FDP，
∴

FE

FD

=

ED

DP

，即

3

5

=

2

DP

，
∴DP=

10

3

，
∴CP=

5

3

，
∵AB∥CD，
∴△ABG∽△CPG，
∴

CP

AB

=

CG

AG

，即

5 3

5

=

CG

4 5 -CG

，
∴CG=

5

=OG，
∴Rt△BOG中，tan∠BGO=

OB

OG

=

5

5

=1．

点评：本题考查了菱形、三角形全等、三角形相似的综合应用，正确证得三角形相似是关键．