Question

已知：关于x的方程x²-（k+1）x+

1

4

k²+1=0的两根是一个矩形两邻边的长．
（1）k取何值时，方程有两个实数根；
（2）当矩形的对角线长为

5

时，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程根的判别式，方程有两个实数根，则判别式△≥0，得出关于k的不等式，求出k的取值范围．
（2）根据勾股定理和根与系数的关系得出关于k的方程，求出k的值并检验．

解答：解：（1）设方程的两根为x₁，x₂
则△=[-（k+1）]²-4（

1

4

k²+1）=2k-3，
∵方程有两个实数根，∴△≥0，
即2k-3≥0，
∴k≥

3

2

∴当k≥

3

2

，方程有两个实数根．

（2）由题意得：

x1+x2=k+1 x1x2= 1 4 k2+1

，
又∵x₁²+x₂²=5，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=5，
（k+1）²-2（

1

4

k²+1）=5，
整理得k²+4k-12=0，
解得k=2或k=-6（舍去），
∴k的值为2．

点评：解决本题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系和勾股定理，把问题转化为解方程求得k的值．