【题目】如图，已知点A（1,0），B（0,3），将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到Rt△COD，CD的延长线，交AB于点E，连接BC，二次函数
的图象过点A、B、C.
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，当∠PBC=75°时，求点P的坐标；
（3）设抛物线的对称轴与x轴交于点F，在抛物线的对称轴上，是否存在一点Q，使得以点Q、O、F为顶点的三角形，与△BDE相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y= -
-2x+3；（2）P（
，
）；（3）点Q的坐标为（1,3）、（1,
）、（1,-3）、（1,-）.
【解析】分析：（1）利用旋转的性质求出C点的坐标，再利用待定系数法求出函数的解析式即可；
（2）作PF⊥y轴，利用直角三角形的性质和二次函数上的点的特点，求解P点的坐标；
（3）利用相似三角形的判定和性质，分类讨论即可求解.
详解：(1) ∵旋转
∴Rt△COD≌Rt△AOB
∴OC=OB=3
∴C（-3,0）
将A（1,0）、B（0,3）、C（-3,0）代入
得 
∴
∴y= --2x+3
(2) 作PF⊥y轴
∵OB=OC ∠BOC=90°
∴∠CBO=45°
∵∠PBC=75°
∴∠PBO=120°
∴∠PBF=60°
设BF=n，则PF=
n
∴P（-n，n+3）
把点P坐标代入y= --2x+3得，
n+3=
解得n1=0，n2=
∴P（，）
(3)如图所示
二次函数对称轴为 x=
=-1 ，
∴OF=1
∵Rt△COD≌Rt△AOB
∴∠ABO=∠DCO,∠CDO=∠BAO
∵∠CDO=∠BDE,
∴∠BDE=∠BAO
∴△BDE∽△BAO
∴
当△Q1OF∽△BDE时，
∴Q1F=3OF=3, ∴Q1（1,3）
当△OQ2F∽△BDE时，
∴Q2F=OF=, ∴Q2（1,）
根据对称性Q3（1,-3），Q4（1,-）
综上所述，符合要求的点Q的坐标为（1,3）、（1,）、（1,-3）、（1,-）.
阶梯计算系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】（10分）已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．
试探究下列问题：
（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）
（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．
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【题目】为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人，在扇形统计图中，m的值是 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
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【题目】目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广,为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共
只，这两种节能灯的进价、售价如下表:
进价（元/只） | 售价（元/只） | |
甲型 |
|
|
乙型 |
|
|
(1)如何进货，进货款恰好为
元?
(2)设商场购进甲种节能灯
只，求出商场销售完节能灯时总利润
与购进甲种节能灯之间的函数关系式;
(3)如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的
，此时利润为多少元？
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【题目】已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1(如图所示)把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为______．
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【题目】已知线段AB=30cm
(1)如图1,点P沿线段AB自点A向点B以2cm/s的速度运动,同时点Q沿线段点B向点A以3cm/s的速度运动,几秒钟后,P、Q两点相遇?
(2)如图1,几秒后,点P、Q两点相距10cm?
(3)如图2,AO=4cm,PO=2cm,当点P在AB的上方,且∠POB=60°时,点P绕着点O以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止,同时点Q沿直线BA自B点向A点运动,假若点P、Q两点能相遇,求点Q的运动速度.
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【题目】一辆慢车和一辆快车沿相同路线从A地到B地，所行驶的路程与时间的函数图象如图所示，下列说法正确的有()个
①快车追上慢车需6小时
②慢车比快车早出发2小时
③快车速度为46km/h
④慢车速度为46km/h
⑤AB两地相距828km
⑥快车14小时到达B地
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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