Question

如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E。

（1）求证：AB·AF=CB·CD；
（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是线段DE上的动点，设DP=xcm，梯形BCDP的面积为ycm²。
①求y关于x的函数关系式；
②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值。

Answer 1

解：（1）∵，
∴DE垂直平分AC，
∴，∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF，
∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，
∴∠DCF=∠DAF=∠B，
在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B，
∴△DCF∽△ABC，
∴，
即，
∴AB·AF=CB·CD；
（2）①∵AB=15，BC=9，∠ACB=90°，
∴，
∴，
 ∴；
②∵BC=9（定值），
∴△PBC的周长最小，就是PB+PC最小，
由（1）知，点C关于直线DE的对称点是点A，
∴PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小，
显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小，
此时DP=DE，PB+PA=AB，
由（1），
得△DAF∽△ABC，EF∥BC，
得，EF=，
∴AF∶BC=AD∶AB，即6∶9=AD∶15，
∴AD=10，
Rt△ADF中，AD=10，AF=6，
∴DF=8，
∴，
∴当时，△PBC的周长最小，此时。