Question

如图，设抛物线C₁：y＝a(x＋1)²－5，C₂：y＝－a(x－1)²＋5，C₁与C₂的交点为A，B，点A的坐标是(2，4)，点B的横坐标是－2．

(1)求a的值及点B的坐标；

(2)点D在线段AB上，过D作x轴的垂线，垂足为点H，在DH的右侧作正三角形DHG．过C₂顶点M的直线记为l，且l与x轴交于点N．

①若l过△DHG的顶点G，点D的坐标为(1，2)，求点N的横坐标；

②若l与△DHG的边DG相交，求点N的横坐标的取值范围．

(注：本卷中许多问题解法不唯一，请老师根据评分标准酌情给分)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵点A在抛物线C1上， 　　∴把点A坐标代入得＝1(2分) 　　∴抛物线C1的解析式为 　　设B(－2，b)，∴b＝－4，∴B(－2，－4)(3分) 　　(2)①如图： 　　∵M(1，5)，D(1，2)，且DH⊥x轴，∴点M在DH上，MH＝5． 　　过点G作GE⊥DH，垂足为E， 　　由△DHG是正三角形，可得EG＝，EH＝1， 　　∴ME＝4．(4分) 　　设N(x，0)，则NH＝x－1， 　　由△MEG∽△MHN，得， 　　∴，∴(5分) 　　∴点N的横坐标为． 　　②当点Ｄ移到与点A重合时，如图． 　　直线l与DG交于点G，此时点Ｎ的横坐标最大． 　　过点Ｇ，M作x轴的垂线，垂足分别为点Q，F， 　　设N(x，0) 　　∵A(2，4) 　　∴G(，2) 　　∴NQ＝ 　　NF＝　GQ＝2　MF＝5． 　　∵△NGQ∽△NMF 　　∴ 　　∴ 　　∴．(7分) 　　当点D移到与点B重合时，如图 　　直线l与DG交于点D，即点B 　　此时点N的横坐标最小． 　　∵B(－2，－4) 　　∴H(－2，0)，D(－2，－4) 　　设N(x，0) 　　∵△BHN∽△MFN，∴ 　　∴ 　　∴ 　　∴点N横坐标的范围为≤x≤(8分) 　　(注：本卷中许多问题解法不唯一，请老师根据评分标准酌情给分)