Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为____．

Answer 1

【答案】、 、

【解析】

根据直线平分三角形周长得出线段的和差关系，再通过四种情形下的相似三角形的性质计算线段的长.

解：设过点D的直线与△ABC的另一个交点为E，

∵AC＝4，BC＝3，∴AB==5

设AD=x，BD=5-x，

∵DE平分△ABC周长，∴周长的一半为（3+4+5）÷2=6，

分四种情况讨论：

①△BED∽△BCA，如图1，BE=1+x

∴，即：，

解得x=，

②△BDE∽△BCA，如图2，BE=1+x

∴，即：，

解得：x=，

BE=>BC，不符合题意.

③△ADE∽△ABC，如图3，AE=6-x

∴，即，

解得：x=，

④△BDE∽△BCA，如图4，AE=6-x

∴，即：，

解得：x=，

综上：AD的长为、 、 .