Question

11．如图，平面直角坐标系中放置了四个正方形，其中相邻两个正方形的两边在同一直线上，已知正方形A₁B₁C₁D₁的边长为1，∠OC₁B₁=60°．若按此规律排列，第2015个小正方形最上面的顶点A₂₀₁₅的纵坐标是（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²⁰¹⁴×（$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$）
• B． （$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²⁰¹⁵（$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$）
• C． （$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁴×（$\frac{1+\sqrt{3}}{3}$）
• D． （$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁵×（$\frac{1+\sqrt{3}}{3}$）

Answer 1

分析 首先根据正方形的性质和锐角三角函数求得第1个，第2个，第3个正方形的边长，归纳第2015和第2016个小正方形的边长，根据A₁，A₂，A₃…的纵坐标可得A₂₀₁₅的纵坐标．

解答 解：设A₁，A₂，A₃…A₂₀₁₅的纵坐标分别为y₁，y₂，y₃…y₂₀₁₅，
∵D₁ C₂=$\frac{1}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，D₂C₃=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²，D₃C₄=$（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{3}$，…，
∴D₂₀₁₅C₂₀₁₆=$（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2015}$，
∵y₁=（A₁D₁+D₁C₂）•sin60°=（1$+\frac{\sqrt{3}}{3}$）$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
y₂=[$\frac{\sqrt{3}}{3}$$+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}$]$•\frac{\sqrt{3}}{2}$，…，
∴y₂₀₁₅=[（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²⁰¹⁴+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²⁰¹⁵]•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2014}$（1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2014}$×（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$），
故选A．

点评 本题主要考查了正方形的性质和规律的归纳探究，利用正方形的性质发现每个小正方形的边长是解答此题的关键．