Question

（2014•金山区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=

3

5

，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A′B′C，其中点B′正好落在AB上，A′B′与AC相交于点D，那么

B′D

CD

=

7

20

．

Answer 1

分析：作CH⊥AB于H，先在Rt△ABC中，根据余弦的定义得到cosB=

BC

AB

=

3

5

，设BC=3x，则AB=4x，再根据勾股定理计算出AC=4x，在Rt△HBC中，根据余弦的定义可计算出BH=

9

5

x，接着根据旋转的性质得CA′=CA=4x，CB′=CB，∠A′=∠A，所以根据等腰三角形的性质有B′H=BH=

9

5

x，则AB′=

7

5

x，然后证明△ADB′∽△A′DC，再利用相似比可计算出B′D与DC的比值．

解答：解：作CH⊥AB于H，如图，
在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=

BC

AB

=

3

5

，设BC=3x，则AB=5x，
AC=

AB2-BC2

=4x，
在Rt△HBC中，cosB=

BH

BC

=

3

5

，而BC=3x，
∴BH=

9

5

x，
∵Rt△ABC绕顶点C旋转后得到Rt△A′B′C，其中点B′正好落在AB上，
∴CA′=CA=4x，CB′=CB，∠A′=∠A，
∵CH⊥BB′，
∴B′H=BH=

9

5

x，
∴AB′=AB-B′H-BH=

7

5

x，
∵∠ADB′=∠A′DC，∠A′=∠A，
∴△ADB′∽△A′DC，
∴

AB′

A′C

=

B′D

DC

，即

7 5 x

4x

=

B′D

DC

，
∴

B′D

DC

=

7

20

．
故答案为

7

20

．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了三角形相似的判定与性质以及锐角三角形函数．