Question

如图．在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E．

（1）求证：△OAD≌△EAB；
（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；
（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标；
（4）连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，求点M的坐标．

Answer 1

解：（1）证明：如答图1所示，连接ID，IO，

∵I为△BOD的外心，∴IO=ID。
又F为OD的中点，∴IF⊥OD。
∴∠DEF+∠FDE=∠AEB+∠ABE=90°。
又∠DEF=∠AEB，∴∠EDF=∠EBA。
又∵DA=BA，且∠OAD=∠EAB=90°，
∴△OAD≌△EAB（AAS）。
（2）由（1）知IF⊥OD，又BF为中线，
∴BO=BD=AB=2。∴OA=BO﹣AB=。
由（1）知△OAD≌△EAB，∴AE=OA=。
∴E（，），B（2，0）。
设过点O、B、E的抛物线解析式为y=ax²+bx，
∴，解得。
∴抛物线的解析式为：。
（3）∵直线BD与x轴关于直线BF对称，∴抛物线与直线BD的交点，即为所求之点P。
由（2）可知，B（2，0），D（，），可得直线BD的解析式为y=﹣x+2。
∵点P既在直线y=﹣x+2上，也在抛物线上，
∴，解得：x=2或x=。
当x=2时，y=﹣x+2=0；当x=时，y=﹣x+2=，
∴点P的坐标为（2，0）（与点B重合），或（，）。
（4）∵DBO=45°，BD=BO，BF⊥OD，
∴∠EBA=22.5°。
由（1）知∠ODA=22.5°，
∴∠DOA=67.5°，OA=EA。
∴∠EOA=45°，∠DOE=22.5°
∴△OED是顶角为135°的等腰三角形。
若△BMD与△OED相似，则△BMD必须是等腰三角形。
如答图2所示，在直线BF上能使△BMD为等腰三角形的点M有4个，分别记为M₁，M₂，M₃，M₄，其中符合题意的是点M₁，M₃。

∵DM₁=DB=2，OA=，∴M₁（，）。
由（1）知B（2，0），E（，），故直线BE的解析式为y=（1﹣）x﹣2+。
∵I是△BOD的外心，它是OB的垂直平分线x=1与OD的垂直平分线BE的交点，
∴I（1，﹣1），即M₃（1，﹣1）．
∴符合题意的M点的坐标为（，），（1，﹣1）。

试题分析：（1）连接ID，IO，通过证明IF⊥OD而得到∠FED=∠EBA；又由DA=BA，且∠OAD=∠EAB=90°，即可由AAS证得△OAD≌△EAB；
（2）求出点B、E的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式。
（3）由于直线BD与x轴关于直线BF对称，则抛物线与直线BD的交点即为所求之点P。分别求出抛物线与直线BD的解析式，联立解方程，即可求出交点（点P）的坐标。
（4）首先证明△OED是顶角为135°的等腰三角形，若△BMD与△OED相似，则△BMD必须是等腰三角形．如答图2所示，在直线BF上能使△BMD为等腰三角形的点M有4个，分别记为M₁，M₂，M₃，M₄，其中符合题意的是点M₁，M₃。