Question

定义：如图，若双曲线与它的其中一条对称轴相交于两点A，B，则线段AB的长称为双曲线的对径．

（1）求双曲线的对径;
（2）若某双曲线对径是.求k的值;
（3）仿照上述定义,请你定义双曲线的对径.

Answer 1

（1）2；（2）25；（3）定义见解析.

解析试题分析：过A点作AC⊥x轴于C，（1）解方程组，可得到A点坐标为(1，1)，B点坐标为(－1，－1)，即OC＝AC＝1，由勾股定理可求AB，于是得到双曲线的对径；
（2）根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为，即AB＝，OA＝5，根据OA＝OC＝AC，则OC＝AC＝5，得到点A坐标为(5，5)，把A(5，5)代入双曲线 (k＞0)即可得到k的值；（3）双曲线 (k＜0)的一条对称轴与双曲线有两个交点，根据题目中的定义易得到双曲线（k＜0)的对径.
试题解析：如图，过A点作AC⊥x轴于C，

（1）解方程组，得，∴A点坐标为(1，1)，B点坐标为(－1，－1).
∴OC＝AC＝1，∴OA＝OC＝. ∴AB＝2OA＝2.
∴双曲线的对径是2.
（2）∵双曲线的对径为，即AB＝，OA＝5.
∴OA＝OC＝AC，∴OC＝AC＝5. ∴点A坐标为(5，5).
把A(5，5)代入双曲线 (k＞0)得k＝5×5＝25，即k的值为25.
（3）若双曲线 (k＜0)与它的其中一条对称轴y＝－x相交于A、B两点，则线段AB的长称为双曲线 (k＜0)的对径.
考点：1.新定义；2.反比例函数综合题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.勾股定理.