Question

【题目】如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作BD的垂线与边AD，BC分别交于点E，F，连接BE交AC于点K，连接DF．

（1）求证：四边形EBFD是菱形；

（2）若BK＝3EK，AE＝4，求四边形EBFD的周长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）32

【解析】

（1）四边形ABCD是平行四边形，可以证明△DEO≌△BFO，可得OE＝OF，从而四边形EBFD是平行四边形，根据EF⊥BD，进而可得平行四边形EBFD是菱形；

（2）证明△AEK∽△CBK，对应边成比例可得BC＝12，进而求出DE的长，可得菱形的周长．

解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，

∴∠EDO＝∠FBO，

OB＝OD，

∠EOF＝∠FOB，

∴△DEO≌△BFO（ASA），

∴OE＝OF，

∴四边形EBFD是平行四边形，

∵EF⊥BD，

∴平行四边形EBFD是菱形；

（2）∵AE//BC，

∴△AEK∽△CBK，

∴＝，

∵BK＝3EK，AE＝4，

∴＝，

∴BC＝12，

∴AD＝BC＝DE+AE＝DE+4＝12，

∴DE＝8，

∴菱形EBFD的周长为4DE＝32．

答：四边形EBFD的周长为32．