Question

如图，已知正方形ABCD和EFCG，点E、F、G分别在线段AC、BC、CD上，正方形ABCD的边长为6．
（1）如果正方形EFCG的边长为4，求证：△ABE∽△CAG；
（2）正方形EFCG的边长为多少时，tan∠ABE×cot∠CAG=3．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质可得到各角均为直角，AC，EC的长，从而根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似求得结论．
（2）设正方形EFCG的边长为x，则BF=6-x，连接FG交AC于点H，从而分别表示GH，AH的长，用未知数分别表示tan∠ABE与cot∠CAG，根据等式可求得求知数的值，即求得正方形EFCG的边长．

解答：（1）证明：∵正方形ABCD边长为6，正方形EFCG边长为4，
∴∠BAC=∠ACG，AB=6，AC=6

2

，CG=4，EC=4

2

．（2分）
∴AE=AC-EC=2

2

．
∴

AB

AE

=

AC

CG

．（2分）
在△ABE和△CAG中
∠BAC=∠ACG，

AB

AE

=

AC

CG

，
∴△ABE∽△CAG．（1分）

（2）解：设正方形EFCG的边长为x，则BF=6-x，
连接FG交AC于点H，
可得GH⊥AC，GH=

2

2

x，AH=6

2

-

2

2

x，
tan∠CAG=

GH

AH

=

2 2 x

6 2 - 2 2 x

=

x

12-x

，（2分）
∵AB∥EF，
∴∠ABE=∠BEF，
∴tan∠ABE=

BF

EF

=

6-x

x

．（1分）
∵tan∠ABE=3tan∠CAG，
∴

6-x

x

=

3x

12-x

，（1分）
∴x₁=-12（舍去），x₂=3，
∴当正方形EFCG的边长为3时，tan∠ABE=3tan∠CAG．（1分）

点评：此题主要考查学生对正方形的性质及相似三角形的判定方法的综合运用．