Question

【题目】如图，已知抛物线经过点C(－2，6)，

与x轴相交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点D．

(1)求点A的坐标；

(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE、AC，求证：是等腰直角三角形;

(3)连接AD交BC于点F，试问当时，在抛物线上是否存在一点P使得以A、B、P为顶点的三角形与相似？若存在， 请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)A(-4,0);(2)证明见解析；（3）存在,（-2，6）或.

【解析】试题分析: （1）将点C（-2，6）代入解析式求出m的值，令y=0，求出A的坐标；

（2）根据两点间的距离公式求出AE、CE的长度，再根据股定理的逆定理判断出△AEC是等腰直角三角形；

（3）求出AD、BC的解析式组成方程组，解出F的坐标，根据三角形相似求出P点的坐标．

试题解析:

（1）∵抛物线经过点C(－2，6)

∴

∴

∴

∴当，

,

（2）证明：设直线BC的函数解析式为y=kx+b，

由题意得： ，解得： .

∴直线BC的解析式为y=－2x+2．

∴点E的坐标为（0，2）.

∴ .

∴AE=CE

又∵

∴

∴△AEC为等腰直角三角形

（3）在抛物线上是否存在一点P使得以A、B、P为顶点的三角形与相似。理由如下：

设直线AD的解析式为y=k1x+b1，则 ，解得： .

∴直线AD的解析式为y=x+4。

联立直线AD与直线BC的函数解析式可得： ，解得： .

∴点F的坐标为（ , ）。

则 ,

。

又∵AB=5， ，

∴.

∴.

又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA。

∴当点P与点C重合时，以A、B、P为顶点的三角形与相似。

又∵抛物线关于直线对称

当点P与点C的对称点重合时，以A、B、P为顶点的三角形也与相似。

∴当点P的坐标为（-2，6）或（-时，以A、B、P为顶点的三角形与相似。