Question

如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，BE=2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为

 

．

Answer 1

分析：首先延长BA与CD，交于F，即可得△FAD∽△FBC与△BCE≌△FCE，然后S_△FAD=x，即可求得S_△FBC=16x，S_△BCE=S_△FEC=8x，S_{四边形AECD}=7x，又由四边形AECD的面积为1，即可求得梯形ABCD的面积．

解答：解：延长BA与CD，交于F，
∵AD∥BC，
∴△FAD∽△FBC，
∵CE是∠BCD的平分线，
∴∠BCE=∠FCE，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC=∠FEC=90°，
∵EC=EC，
∴△BCE≌△FCE（ASA），
∴BE=EF，
∴BF=2BE，
∵BE=2AE，
∴EF=2AE，
∴AE=AF，
∴BF=4AE=4AF，
∴

S△FAD

S△FBC

=(

AF

BF

)2=

1

16

，
设S_△FAD=x，
∴S_△FBC=16x，
∴S_△BCE=S_△FEC=8x，
∴S_{四边形AECD}=7x，
∵四边形AECD的面积为1，
∴7x=1，
∴x=

1

7

，
∴梯形ABCD的面积为：S_△BCE+S_{四边形AECD}=15x=

15

7

．
故答案为：

15

7

．

点评：此题考查了梯形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．