Question

如图，点A（3，1），B（-1，n）是一次函数y₁=ax+b 和反比例函数y₂=图象的交点，
（1）求两个函数的解析式
（2）观察图象直接写出y₁≥y₂自变量x的取值范围．
（3）在平面内求一点M，使△AOM是以OA为直角边等腰直角三角形．
如果还存在其他点M，直接写出答案．

Answer 1

（1）解：把A（3，1）代入y₂=得：k=xy=3，
∴y₂=，
把x=-1代入上式得：y=-3，
∴B（-1，-3），
把A、B的坐标代入y₁=ax+b得：，
解得：a=1，b=-2，
∴y₁=x-2，
即一次函数的解析式是y₁=x-2，反比例函数的解析式是y₂=．

（2）解：根据图象可知：y₁≥y₂自变量x的取值范围-1≤x＜0或x≥3．

（3）解：符合条件的点M的坐标是（1，-3），（4，-2），（-1，3），（2，4），
选（1，-3），
证明：如图作AN⊥y轴，MD⊥y轴，垂足分别为N，D．
∵△AOM是等腰三角形且OA是直角边，
∴OA=OM，∠AOM=90°，
∵∠NOA+∠AOM+∠MOD=180°，
∴∠NOA+∠MOD=90°，
∵MD⊥y轴，
∴∠ODM=90°，
∴∠MOD+∠OMD=180°-90°=90°，
∵∠NOA+∠MOD=90°，
∠MOD+∠OMD=90°，
∴∠NOA=∠OMD，
∵AN⊥y轴，MD⊥y轴，
∴∠ANO=∠MDO=90°，
在△AON和△NMD中，
，
∴△AON≌△NMD （AAS），
∴AN=OD，ON=DM，
∵A（1，3），
∴AN=3，ON=1，
∴OD=3，DM=1，
∴M（1，-3）．
分析：（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，求出k，把B的坐标代入反比例函数的解析式，能求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出关于a、b的方程组，求出方程组的解即可；
（2）根据图象和一次函数与反比例函数的交点坐标，即可得出答案
（3）选M（1，-3），作AN⊥y轴，MD⊥y轴，垂足分别为N，D．证出∠NAO=MOD，根据AAS证△NAO≌△DOM证出AN=OD，MD=ON，根据A的坐标求出即可．
点评：本题考查了一用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，全等三角形的性质和判定，一次函数与反比例函数的交点问题等知识点的运用，此题综合性比较强，主要培养了学生综合运用性质进行推理和计算的能力，同时也培养了学生的观察图形的能力，用了数形结合思想．