Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，E，F分别是AB，CD上的点，且∠DAF=∠BCE，

（1）求证：AE=CF；

（2）若将此题中的条件改为：“E，F分别是AB，CD延长线上的点”，其余条件不变，此时，∠ABC=60°，∠BEC=40°，作∠ABC的平分线BN交AF于M，交AD于N，求∠AMN的度数（要求：画示意图，不写画法，写推理过程）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）10°

【解析】分析：（1）易得四边形ABCD是平行四边形，那么∠D=∠B，易得△ADF≌△CBE，那么BE=DF，∴AE=CF；

（2）利用外角等于和它不相邻的2个内角的和可得∠BCE的度数，也就求得了∠DAF的度数，利用角平分线定义易得∠NBC的度数，也就求得了∠MND的度数，利用三角形的外角的性质即可求得∠AMN的度数．

详解：（1）∵AD=BC，AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴∠D=∠B，

∵∠DAF=∠BCE，

∴△ADF≌△CBE，

∴BE=DF，

∴AE=CF；

（2）∵∠ABM=∠CBM=∠ABC=30°，

又∵AD∥BC

∴∠MND=∠CBM=30°

∵∠ABC=∠E+∠BCE，

∴∠BCE=∠ABC﹣∠E=60°﹣40°=20°

∴∠FAD=∠BCE=20°

又∵∠MND=∠FAD+∠AMN

∴∠AMN=∠MND﹣∠FAD=30°﹣20°=10°．