Question

如图1，已知抛物线y=ax²-2ax+b经过梯形OABC的四个顶点，若BC=10，梯形OABC的面积为18．
（1）求抛物线解析式；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，平移后的两条直线分别交抛物线于点O₁、A₁、C₁、B₁，得到如图2的梯形O₁A₁B₁C₁．设梯形O₁A₁B₁C₁的面积为S，A₁、B₁的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．用含S的代数式表示x₂-x₁，并求出当S=36时点A₁的坐标；
（3）如图3，设图1中点D坐标为（1，3），M为抛物线的顶点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据抛物线y=ax²-2ax+b，可知对称轴方程，从而得到点A的坐标；再根据BC=10，梯形OABC的面积为18，可求B，C的坐标，再将O、B两点的坐标代入y=ax²-2ax+b，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）在两条直线平移的过程中，梯形的上下底发生了改变，但是梯形的高没有变化，仍为3，即y₂-y₁=3，根据抛物线的解析式，用x₁、x₂表示出y₁、y₂，然后联立y₂-y₁=3，可得到第一个关于x₁、x₂的关系式①；在两条直线平移过程中，抛物线的对称轴没有变化，用x₁、x₂以及抛物线的对称轴的解析式表示出梯形上下底的长，进而得到梯形面积的表达式，这样得到另外一个x₁、x₂的关系式②，联立这两个关系式，得到关于（x₂-x₁）与S的关系式③，将S=36代入②③的关系式中，即可列方程组求得x₁、x₂的值，进而可求出点A₁的坐标；
（3）要解答此题，首先要弄清几个关键点：
一、当PQ∥AB时，设直线AB与抛物线对称轴的交点为E，可得△DPQ∽△DBE，可用t表示出DP、DQ的长，而E点坐标易求得，根据相似三角形所得比例线段，即可得到此时t的值即t=；
二、当P、Q都停止运动时，显然BC＞DM，所以此时t=DM÷1=3．
设直线PQ与直线AB的交点为F，与x轴的交点为G；假设直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似．显然t=不合题意，舍去，所以分两种情况讨论：①当0＜t＜时，由题意知△FQE∽△FAG，得∠FGA=∠FEQ，由于BC∥x轴，则∠DPQ=∠FGA=∠FEQ，由此可证得△DPQ∽△DEB，DB、DE的长已求得，可用t表示出DP、DQ的长，根据相似三角形所得比例线段，即可求得此时t的值；
②当＜t＜3时，方法同①；
在求得t的值后，还要根据各自的取值范围将不合题意的解舍去．
解答：解：（1）∵y=ax²-2ax+b=a（x-1）²-a+b，
∴对称轴为：直线x=1，
∴点A的坐标为（2，0）；
∵BC=10，梯形OABC的面积为18，
∴梯形OABC的高为：18×2÷（10+2）=3，
∴B（10÷2+1，3），即B（6，3），
C（1-10÷2，3），即C（-4，3）．
将O（0，0），B（6，3）代入y=ax²-2ax+b，
得，
解得，
∴抛物线解析式为：y=x²-x；

（2）由题意得y₂-y₁=3，y₂-y₁=x₂²-x₂-x₁²+x₁=3，
得：（x₂-x₁）[（x₂+x₁）-]=3①，
S==3（x₁+x₂）-6，
得：x₁+x₂=+2②，
把②代入①并整理得：x₂-x₁=（S＞0），
当s=36时，，
解得：，
把x₁=6代入抛物线解析式，得y₁=×6²-×6=3，
∴点A₁（6，3）；

（3）存在t=秒，可使直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似．理由如下：
易知直线AB的解析式为y=x-，可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为（1，-），
∴BD=5，DE=，DP=5-t，DQ=t，
当PQ∥AB时，=，
即=，解得t=．
设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G．假设直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似．下面分两种情况讨论：
①当0＜t＜时，如图3-1；
∵△FQE∽△FAG，
∴∠FGA=∠FEQ，
∴∠DPQ=∠DEB；
易得△DPQ∽△DEB，
∴，即=，
解得t=＞，
∴t=不合题意，舍去；
②当＜t＜3时，如图3-2；
∵△FAG∽△FQE，
∴∠FAG=∠FQE，
∵∠DQP=∠FQE，∠FAG=∠EBD，
∴∠DQP=∠DBE，
易得△DPQ∽△DEB，
∴，即=，
解得t=，符合题意．
综上，可知当t=秒时，直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似．
点评：本题考查了二次函数的综合类试题，涉及到：二次函数解析式的确定、等腰梯形的性质、图形面积的求法、相似三角形的判定和性质等重要知识；在（3）题中能够正确地画出图形，并准确地找到所求的三角形是解答此题的关键．