Question

（2013•奉贤区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，联结OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E、交射线CD于点F．

（1）若

ED

=

BE

，求∠F的度数；
（2）设CO=x，EF=y写出y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长．

Answer 1

分析：（1）首先连接OE，由

ED

=

BE

，OD∥BF，易得∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，又由CF⊥AB，即可求得∠F的度数；
（2）作OH⊥BE，垂足为H，易得△HBO≌△COD，即可得CO=BH=x，求得BE=2x，易得△COD∽△CBF，然后由相似三角形的对应边成比例，可得

4

2x+y

=

x

4+x

，则可求得y与x之间的函数解析式；
（3）由∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，可得∠COD=∠DOE，即可得C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，然后分别从PB=PE，EB=EP，BE=BP去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）连接OE，-------------------------------------------------------（1分）
∵

ED

=

BE

，
∴∠BOE=∠EOD-------------------------------------------------------------------（1分）
∵OD∥BF，
∴∠DOE=∠BEO，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，-------------------------------------------------------------------（1分）
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，---------------------------------------------------------------------（1分）
∵CF⊥AB，
∴∠FCB=90°，
∴∠F=30°；--------------------------------------------------------------------------（1分）

（2）作OH⊥BE，垂足为H，-----------------------------------------------------------------------------（1分）
∵在△HBO和△COD中，

∠DCO=∠OHB=90° ∠OBE=∠COD OB=OD

，
∴△HBO≌△COD（AAS），-------------------------------------------------------------------------------------（1分）
∴CO=BH=x，
∴BE=2x，
∵OD∥BF，
∴△COD∽△CBF，
∴

OD

BF

=

OC

BC

，--------------------------------------------------------------------（1分）
∴

4

2x+y

=

x

4+x

，
∴y=

4x+16-2x2

x

（0＜x＜4）；-------------------------（2分）

（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，
∴∠COD=∠DOE，
∴C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，----------------（1分）
若△PBE为等腰三角形，
设CO=x，
∴OP=OC=x，
则PE=OE-OP=4-x，
由（2）得：BE=2x，
①当PB=PE，不合题意舍去；--------------------------------------------------------------（1分）
②当EB=EP，2x=4-x，
解得：x=

4

3

，---------------------------------------------------------（1分）
③当BE=BP，作BM⊥OE，垂足为M，
∴EM=

1

2

PE=

4-x

2

，
∴∠OEB=∠COD，∠BME=∠DCO=90°，
∴△BEM∽△DOC，
∴

BE

DO

=

EM

OC

，
∴

2x

4

=

4-x 2

x

，
整理得：x²+x-4=0，
解得：x=

-1± 17

2

（负数舍去）．----------------------------------（1分）
综上所述：当OC的长为

4

3

或

-1+ 17

2

时，△PBE为等腰三角形．

点评：此题考查了圆的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等性质．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．