Question

如图已知直线PA交⊙O于A、E两点，过⊙O上一点C作PE的垂线交PE于D，AB是⊙O的直径，且AC平分∠DAB．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若CD=4，tan∠CAD=2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于AC是∠DAB的角平分线，那么有∠1=∠2，又OA=OC，故∠1=∠3，等量代换有∠2=∠3，而CD⊥AP，于是可得∠ADC=90°，利用三角形内角和定理可得∠2+∠4=90°，等量代换可得∠3+∠4=90°，即∠OCD=90°，那么CD是⊙O的切线；
（2）由CD⊥AP，那么∠ADC=90°，在Rt△ADC中，CD=4，tan∠CAD=2，利用三角函数值，可求AD=2，再利用勾股定理可求AC，易证△ADC∽△ACB，可得比例线段，AD：AC=AC：AB，从而可求AB，⊙O的半径等于AB即可求．
解答：（1）证明：∵AC是∠DAB的角平分线，
∴∠1=∠2，
又∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
又∵CD⊥AP，
∴∠ADC=90°，
∴∠2+∠4=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵CD⊥AP，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∵CD=4，tan∠CAD=2，
∴AD=tan∠CAD×CD=2，
∴AC==2，
又∵∠1=∠2，∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AB=10，
∴⊙O的半径=AB=5．
点评：本题利用了角平分线定义、等量代换、三角形内角和定理、切线的判定、三角函数值、勾股定理、相似三角形的判定和性质．