Question

定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心。

举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心。

（1）应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且，

求∠APB的度数。

（2）探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长。

         

Answer 1

（1）解：⑴∵△ABC是等边三角形，CD是AB边上的高线

∴D为AB的中点。（等边三角形三线合一）

∴

又∵

∴AD=PD=BD

又∵CD是AB边上的高线

∴△ADP, △DBP为等腰直角三角形

∴∠APD=∠BPD=45

∴∠APB=∠APD+∠BPD=90°；（5分）
⑵∵BC=5，AB=3，∴AC=，
①若PB=PC，设PA=x，则，∴，即PA，
②若PA=PC，则PA=2，

③若PA=PB，在Rt△PAB中，不可能

  ∴综上所述，PA=2或 （5分）