Question

【题目】在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′＝，那么称点Q为点P的“伴随点”．

例如：点（5，6）的“伴随点”为点（5，6）；点（﹣5，6）的“伴随点”为点（﹣5，﹣6）．

（1）直接写出点A（2，1）的“伴随点”A′的坐标．

（2）点B（m，m+1）在函数y＝kx+3的图象上，若其“伴随点”B′的纵坐标为2，求函数y＝kx+3的解析式．

（3）点C、D在函数y＝﹣x2+4的图象上，且点C、D关于y轴对称，点D的“伴随点”为D′．若点C在第一象限，且CD＝DD′，求此时“伴随点”D′的横坐标．

（4）点E在函数y＝﹣x2+n（﹣1≤x≤2）的图象上，若其“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），直接写出实数n的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）A'的坐标为（2，1）；（2）①当m≥0时，y＝﹣x+3；②m＜0时，y＝x+3；（3）D′的横坐标为；（4）﹣2≤n≤0、1≤n≤3.

【解析】

（1）由题意即可求解；

（2）分m≥0、m＜0两种情况分别求解即可；

（3）设点C的横坐标为n，点C在函数y＝﹣x2+4的图象上，CD＝DD′，即可求解；

（4）通过画图即可求解．

解：（1）由题意得：点A'的坐标为（2，1）

（2）①当m≥0时，

m+1＝2，m＝1

∴B（1，2）

∵点B在一次函数y＝kx图象上，

∴k+3＝2，

解得：k＝+1

∴一次函数解析式为y＝﹣x+3

②m＜0时，

m+1＝﹣2，m＝﹣3

∴B（﹣3，﹣2）

∵点B在一次函数y＝kx+3图象上，

∴﹣3k+3＝﹣2

解得：k＝

一次函数解析式为y＝x+3．

（3）设点C的横坐标为n，点C在函数y＝﹣x2+4的图象上，

∴点C的坐标为（n，﹣n2+4），

∴点D的坐标为（﹣n，﹣n2+4），D′（﹣n，n2﹣4）

∵CD＝DD′，

∴2n＝2（n2+4），

解得：n＝；

∵点C在第一象限，

∴D′的横坐标为；

（4）﹣2≤n≤0、1≤n≤3，

当左边的抛物线在上方时，如图①、图②：﹣2≤n≤0；

当右边的抛物线在上方时，如图③、图④：1≤n≤3．