Question

（2005•威海）如图，AF⊥CE，垂足为点O，AO=CO=2，EO=FO=1．
（1）求证：点F为BC的中点；
（2）求四边形BEOF的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）解题思路：连接EF、AC，可通过证明EF是三角形ABC的中位线来求得；
（2）连接OB后我们发现，S_△OFC=S_△FOB，S_△OEB=S_△OEA，那么S_{四边形BEOF}=S_△OEA+S_△OFC．
解答：（1）证明：连接EF、AC，
∵AO=CO=2，EO=FO=1，
∴EO：OC=FO：OA=1：2，
又∵∠EOF=∠AOC，
∴△AOC∽△FOE，
∴EF：AC=1：2，∠OEF=∠OCA，
∴EF∥AC，
∴EF是三角形ABC的中位线，
∴点F为BC的中点；

（2）解：连接OB，
由（1）知：BF=CF，
又因为△OFC和△BFO中CF和BF边上的高相等，那么
S_△OFC=S_△BFO，
同理：S_△BOE=S_△AOE，
直角三角形AOE中，S_△AOE=1×2÷2=1，
同理S_△OFC=1，
因此S_{四边形BEOF}=S_△BFO+S_△BOE=S_△OFC+S_△AOE=2．
点评：本题考查的是相似多边形的判定和性质，三角形中位线定理的逆定理，三角形的面积公式等知识点．