已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C(0.1).且与x轴交于不同的两点A.B.点A的坐标是(1.0) (1)求c的值, (2)求a的取值范围, (3)该二次函数的图象与直线y＝1交于C.D两点.设A.B.C.D四点构成的四边形的对角线相交于点P.记△PCD的面积为S1.△PAB的面积为S2.当0＜a＜1时.求证:S1-S2为常数.并求出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知关于x的二次函数y＝ax²＋bx＋c(a＞0)的图象经过点C(0，1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是(1，0)

(1)求c的值；

(2)求a的取值范围；

(3)该二次函数的图象与直线y＝1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S₁，△PAB的面积为S₂，当0＜a＜1时，求证：S₁－S₂为常数，并求出该常数．

答案：
解析：

　　答案：(1)c的值是1．

　　(2)a的取值范围是a≠1且a＞0；

　　(3)这个常数是1．

　　分析：(1)把C(0，1)代入抛物线即可求出c；

　　(2)把A(1，0)代入得到0＝a＋b＋1，推出b＝－1－a，求出方程ax²＋bx＋1＝0，的b²－4ac的值即可；

　　(3)设A(a，0)，B(b，0)，由根与系数的关系得：a＋b＝，ab＝，求出AB＝，把y＝1代入抛物线得到方程ax²＋(－1－a)x＋1＝1，求出方程的解，进一步求出CD过P作MN⊥CD于M，交X轴于N，根据△CPD∽△BPA，得出＝，求出PN、PM的长，根据三角形的面积公式即可求出S₁－S₂的值即可．

　　解答：(1)解：把C(0，1)代入抛物线得：0＝0＋0＋c，

　　解得：c＝1，

　　(2)解：把A(1，0)代入得：0＝a＋b＋1，

　　∴b＝－1－a，

　　ax²＋bx＋1＝0，

　　b²－4ac＝(－1－a)²－4a＝a²－2a＋1＞0，

　　∴a≠1且a＞0，

　　(3)证明：∵0＜a＜1，

　　∴B在A的右边，

　　设A(a，0)，B(b，0)，

　　∵ax²＋(－1－a)x＋1＝0，

　　由根与系数的关系得：a＋b＝，ab＝，

　　∴AB＝b－a＝＝，

　　把y＝1代入抛物线得：ax²＋(－1－a)x＋1＝1，

　　解得：x₁＝0，x₂＝，

　　∴CD＝，

　　过P作MN⊥CD于M，交X轴于N，

　　则MN⊥X轴，

　　∵CD∥AB，

　　∴△CPD∽△BPA，

　　∴＝，

　　∴PN＝，PM＝，

　　∴S₁－S₂＝··－··＝1，

　　即不论a为何只，

　　S₁－S₂的值都是常数．

　　点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组，解一元一次方程，相似三角形的性质和判定，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与X轴的交点等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，题型较好，难度适中．

提示：

二次函数综合题；解一元一次方程；解二元一次方程组；根的判别式；根与系数的关系；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点；相似三角形的判定与性质．

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