Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（6，0）和C（0，4 ）三个点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点E（m，n）是抛物线上一个动点，且位于第四象限，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形，求四边形OEBF的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当四边形OEBF的面积为24时，请判断四边形OEBF是否为菱形？

Answer 1

（1）解：∵把A（1，0），B（6，0），C（0，4 ）代入y=ax²+bx+c得：，
解得：a=，b=-，c=4，
∴抛物线的解析式是y=x²-x+4．

（2）解：∵E在抛物线y=x²-x+4上，E（m，n），
∴E的坐标是（m，m²-m+4），
∵E在第四象限，且四边形OEBF是平行四边形，OB为对角线，
∴平行四边形OEBF的面积等于2S_△OBE，
即S=2××OB×（-n），
∴S=2××6×（-m²+m-4）=-4m²+28m-24，
∵A（1，0），B（6，0），
∴m的范围是1＜m＜6，
答：四边形OEBF的面积S与m之间的函数关系式是S=-4m²+28m-24，自变量m的取值范围是1＜m＜6．

（3）解：根据题意得：S=-4m²+28m-24=24，
即m²-7m+12=0，
解得：m=3，m=4，
当m=3时，y=x²-x+4=-4，
当m=4时，y=x²-x+4=-4，
∵当O（0，0），E（3，-4），B（6，0）时，由勾股定理得：OE==5，BE==5，
即OE=BE，
∴此时四边形OEBF是菱形；
∵当O（0，0），E（4，-4），B（6，0）时，由勾股定理得：OE==4，BE==5，
即OE和BE不相等，
∴此时四边形OEBF不是菱形；
综合上述，当四边形OEBF的面积为24时，四边形OEBF不是菱形．
分析：（1）把A（1，0），B（6，0），C（0，4 ）代入y=ax²+bx+c得出一个三元一次方程组，求出方程组的解即可；
（2）设E的坐标是（m，m²-m+4），根据平行四边形性质得出平行四边形OEBF的面积等于2S_△OBE，得出S=2××OB×（-n），代入即可求出S=-4m²+28m-24，根据A、B的坐标即可求出m的范围；
（3）把S=24代入S=-4m²+28m-24，求出方程的解，即可求出E的坐标，根据勾股定理求出OE和BE的值，看看OE和BE是否相等即可．
点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，菱形的判定，勾股定理，三角形的面积的应用，主要检查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题型较好，但是有一定的难度．