Question

随着人们生活水平的提高，家用汽车已渐入百姓家，某汽车集团公司顺应市场，开发了一种新型家用汽车，前期投资2000万元，每生产一辆这种新型汽车，后期其他投资还需3万元，已知每辆汽车可实现产值5万元．
（1）分别求出总投资额y₁（万元）和总利润y₂（万元）关于新型汽车的总产量x（辆）的函数关系式；
（2）当新型汽车的总产值为900辆时，该公司的盈亏情况如何？
（3）请利用（1）小题中y₂与x的函数关系式，分析该公司的盈亏情况（注：总投资=前期投资+后期其他投资，总利润=总产值-总投资）．

Answer 1

解：（1）根据题意得：y₁=3x+2000，
∴y₂=5x-y₁=5x-（3x+2000）=2x-2000；

（2）当总产量为900辆，
即x=900时，y₂=2×900-2000=-200＜0，
∴当总产量是900辆时，该公司会亏损，亏损额为200万元；

（3）由2x-2000＜0，解得：x＜1000，即新汽车的总产量小于1000辆时，该公司会亏损；
由2x-2000=0，解得：x=1000，即汽车的总产量为1000辆时，该公司不亏损也不盈利；
由2x-2000＞0，解得：x＞1000，即汽车的总产量大于1000辆时，该公司会盈利．
分析：（1）根据总投资额=前期投资+后期其他投资=前期投资+每辆车后期投资投资×汽车的总产量，总利润=总产值-总投资=每辆汽车可实现产值×汽车的总产量-总投资额，分别列出y₁与y₂关于x的函数关系式即可；
（2）把x=900代入y₂=2x-2000中，根据对应的函数值的正负即可判断出该公司的盈亏情况；
（3）令y₂小于0，列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为该公司亏损时汽车的总产量的范围；令y₂等于0，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为该公司不亏损也不盈利汽车的总产量的范围；令y₂大于0，列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为该公司盈利时汽车的总产量的范围．
点评：此题属于一次函数的应用题，运用一次函数的有关知识解决实际问题的关键是结合方程、不等式的有关知识求解，在确定一次函数关系式时，要注意自变量的取值范围在实际条件的限制，其中一次函数的应用有如下类型：1、根据实际问题中给出的数据列相应的函数关系式，解决实际问题；2、利用一次函数的性质对实际问题中的方案进行比较；结合实际问题的函数图象解决实际问题．本题属于第一种类型．