Question

23、已知a、b、c、d是四个不同的有理数，且（a+c）（a+d）=1，（b+c）（b+d）=1，那么（a+c）（b+c）的值是

-1

．

Answer 1

分析：由已知条件变形知，a、b是方程x²+（c+d）x+cd-1=0的两个不相等的实数根，然后根据韦达定理求得ab=cd-1，a+b=-c-d；最后将所求的代数式展开，将ab=cd-1、a+b=-c-d代入其中并求值即可．

解答：解：由（a+c）（a+d）=1，得
a²+（c+d）a+cd=1，①
由（b+c）（b+d）=1，得
b²+（c+d）b+cd=1，②
根据①②可知，a、b是方程x²+（c+d）x+cd-1=0的两个不相等的实数根，
∴由韦达定理，得
ab=cd-1，
a+b=-c-d，
∴（a+c）（b+c）=c²+（a+b）c+ab=c²-c²-cd+cd-1=-1；
故答案是：-1．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．